场景需求
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
解题分析
通过题目描述可以得知，有1阶楼梯的话 就仅仅只有1种方法，
2阶楼梯的话，我们可以第一步爬1阶，第二步爬1阶 + 第一步直接爬2阶 得到 2种解法。
3阶楼梯的话，那么方式就是 1+1+1 或者 1+2 或者 2+1 等于3种。
4阶楼梯的话 。。。。如果是这种思路的话 估计会累死
实际上只要有接触过动态规划概念的话，就会知道这种情况如何去处理了。下面聊下动态规划
动态规划
动态规划，无非就是利用历史记录，来避免我们的重复计算。而这些历史记录，我们得需要一些变量来保存，一般是用一维数组或者二维数组来保存。
对于动态规划可以总结为三部分步骤：
- 定义数组的含义。由于我们会通过数组来保存历史记录，简单举例通过一位数组来存放历史记录。dp[]【这个数组也是有考究的，因为这会牵扯到空间复杂度，针对不同的命题要求我们可以适当的应变】
- 找出数组之间的关系式。即利用历史数据我们可以推导出当前数组元素的依赖关系，结合上题，当有 n 阶台阶的时候，我们可以从 n-1 号台阶通过 1 阶爬上来，也可以通过 n-2 号台阶通过 2 阶台阶爬上来，那么实际上 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。 在这里需要注意的是，我们不要纠结于 n-1 号及 n-2 号台阶那么又有多少种，因为这是一个抽象迭代的过程。既然存在历史数据肯定是能够拿到的。通常来说 dp[n] 的关系式是解决问题的关键与难点。
- 结合步骤 2 我们知道，如果一直迭代下去，肯定是存在一个初始值，由此得出步骤3 找出初始值。
具体实现
有了以上对动态规划的初步了解以及要点步骤解析，结合题目再次梳理下：
定义数组 dp[n]，来记录到 n 阶楼梯的方法数。
数组关联关系 dp[n] = dp[n-1]+dp[n-2]，爬到 n 号阶梯我们结合题目可以得知 要么从 n-1 号楼梯上来，要么从 n-2 号楼梯上来，即为 爬到 n-1 号 楼梯的方法数 + 爬到 n-2 号楼梯的方法数。在针对处理当前问题的时候，我们的聚焦点是当前，不要关联其他状态，如果没有这一层抽象的理解，尤其在处理递归和迭代的算法问题中我们会把自己耗死，导致越想越深，一直死循环。
那么下面就是到了对初始状态的分析了：
- dp[1] 是否满足 dp[0] + dp[-1]，由于 n 是正整数，那么 不满足此关联表达式，那么应该手动初始化 dp[1] =1;
- dp[2] 是否满足 dp[0] + dp [1], 由于 n 是正整数，也不满足此关联表达式，那么也应该手动初始化dp[2] = 2;
- dp[3] 是否满足 dp [2] + dp[1]，我们发现是满足的，那么由此往下 都满足了 表达式，那么由此可知，n >= 3 的时候就能过通过表达式来求值了。
代码实现
public static int climbStairs(int n) {
// 为了与直接题解中表达的 dp[n] 表示为 n 阶台阶的爬法相对应，此时初始化数组的时候会浪费dp[0]
int[] dp = new int[n+1];
// 这里直接把初始化部分提取出来，作为边界直接输出
if( n<3) {
return n;
}
dp[1] = 1; // 如果想从下标为0 开始的话，这里可以表示为 dp[n-1] 为实际的 dp[n]。
dp[2] = 2;
for(int i=3;i<=n;i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] ;
}
return dp[n];
}
知识点： 动态规划